Свои первые шаги в хоккее будущий олимпийский чемпион делал на обычной дворовой коробке:

- Мы с родителями жили на северо-западе Челябинска, во дворе у нас стояла хоккейная коробка, где я часто пропадал и где я по-настоящему «заболел» хоккеем. Первый мой тренер был Виктор Михайлович Фомин, и начал я играть за цинковый завод. Так что стадион цинкового завода – вот я откуда. А в пятом классе перешёл в «Трактор». Как-то играли на первенство Челябинска против «Трактора», там меня и подметили, - рассказывал Давыдов.

Играя уже за юношескую команду «Трактора», форвард получил серьёзную травму и едва не закончил с хоккеем. Пережив тяжёлый момент в карьере, Давыдов дебютировал в составе «Трактора» и за два сезона набрал 17 очков в 44 встречах.

На молодого техничного нападающего обратили внимание в ЦСКА, в котором Евгений и провёл следующие шесть лет, сыграв в одной команде с кумиром детства Сергеем Макаровым. За эти годы Давыдов успел стать чемпионом СССР, чемпионом мира, поучаствовать в знаменитом ледовом побоище 1987 года, когда молодёжные сборные СССР и Канады решили выяснить сильнейшего с помощью кулаков, и, наконец, выиграть Олимпиаду 1992 года, воплотив в жизнь свою детскую мечту.

Отыграв свой последний сезон за ЦСКА, Давыдов перебрался за океан в «Виннипег Джетс».

- Когда в «Виннипег Джетс» я провёл неплохой сезон, забив 28 голов, мне предложили односторонний контракт на четыре года. Но мой агент посоветовал найти другую команду. Другая команда, конечно же, вскоре нашлась, но я не раз потом вспоминал ту доброжелательную атмосферу, которая была в "Виннипеге". Отношение американского тренера к русским во «Флориде» было то ещё... С другой стороны, поиграть в стольких клубах – очень полезный опыт, - вспоминал Давыдов.

Проведя в общей сложности в НХЛ четыре сезона, Давыдов вернулся в Европу. Поиграл во Франции, Швейцарии, Швеции, Германии, Финляндии и Италии. А в сезоне 1996/1997 годов, выступая за шведский «Брюнес», Давыдов забросил 30 шайб и стал лучшим снайпером чемпионата.

В Россию Давыдов вернулся в первый раз в 1998 году. «Ак Барс» предложил форварду хороший контракт, но в Казани у Давыдова не сложились отношения с тренером и через четыре месяца он покинул команду, вновь уехав в Европу. В 2002 году он провёл несколько встреч за столичные «Крылья Советов», а спустя пару лет закончил свою карьеру в шведском клубе «Олофстремс».

Впоследствии Давыдов работал тренером в фарм-клубе «Крыльев», попутно продолжая играть за различные ветеранские команды.